Author：AXYZdong
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文章目录

• 前言
• 概述
• 一、幂级数展开法
• 二、部分分数展开法
• 1、 F ( z ) F(z) F(z) 均为单极点，且不为0
• 2、 F ( z ) F(z) F(z) 有共轭单极点
• 3、 F ( z ) F(z) F(z) 有重极点
• 总结

前言

离散系统 z 域分析相关内容

概述

求逆 z 变换的方法有：

1、幂级数展开法

2、部分分数展开法

3、反演积分（留数法）

一般而言，双边序列可分解成因果序列 f 1 ( k ) f_1(k) f1​(k) 和反因果序列 f 2 ( k ) f_2(k) f2​(k) 两部分，即：

f ( k ) = f 1 ( k ) + f 2 ( k ) = f ( k ) ϵ ( k ) + f ( k ) ϵ ( − k − 1 ) f(k)=f_1(k)+f_2(k)=f(k)\epsilon(k)+f(k)\epsilon(-k-1) f(k)=f1​(k)+f2​(k)=f(k)ϵ(k)+f(k)ϵ(−k−1)

对应的，其 z 变换也有两个部分

F ( z ) = F 1 ( z ) + F 2 ( z ) , α < ∣ z ∣ < β F(z)=F_1(z)+F_2(z),\alpha <|z|<\beta F(z)=F1​(z)+F2​(z),α<∣z∣<β

一、幂级数展开法

根据 z 变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是 z − 1 和 z z ^{-1}和 z z−1和z 的幂级数。其系数就是相应的序列值。

例：已知象函数
F ( z ) = z 2 ( z + 1 ) ( z − 2 ) = z 2 z 2 − z − 2 F(z)=\frac{z^2}{(z+1)(z-2)}=\frac{z^2}{z^2-z-2} F(z)=(z+1)(z−2)z2​=z2−z−2z2​
其收敛域如下，分别求相对应的原序列 f ( k ) f(k) f(k)。
（1） ∣ z ∣ > 2 |z|>2 ∣z∣>2
（2） ∣ z ∣ < 1 |z|<1 ∣z∣<1
（3） 1 < ∣ z ∣ < 2 1<|z|<2 1<∣z∣<2

二、部分分数展开法

F ( z ) = B ( z ) A ( z ) = b m z m + b m − 1 z m − 1 + . . . + b 1 z + b 0 z n + a n − 1 z n − 1 + . . . + a 1 z + a 0 , 式 中 n ≥ m F(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+...+b_1z+b_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0},式中n\ge m F(z)=A(z)B(z)​=zn+an−1​zn−1+...+a1​z+a0​bm​zm+bm−1​zm−1+...+b1​z+b0​​,式中n≥m

1、 F ( z ) F(z) F(z) 均为单极点，且不为0

2、 F ( z ) F(z) F(z) 有共轭单极点

3、 F ( z ) F(z) F(z) 有重极点

总结

逆 z 变换和拉普拉斯逆变换求解方法很相似，但是也要注意区别，常用的 z 变换要熟记。

如有错误，还请批评指正！