蓝牙基带调制（GFSK：Gauss frequency Shift Keying ）

• 前言
• 一、高斯滤波器
• 二、高斯滤波
• 三、相位积分
• 四、TX设置和信号波形
• 总结

前言

蓝牙发展到现在已经是5.2版本，包含经典蓝牙(BT)和低功耗蓝牙(BLE)，尽管经过多次迭代，其基带调制解调方式还是GFSK和DPSK。下面介绍的就是用的较多的GFSK调制，对比FSK调制。都知道FSK是二选一的频率键控调制，其调制解调也是极为简单，通信原理可能就有很详细的介绍，其中非相干最佳接收机结构尤为经典。而GFSK的关键是在高斯滤波器的应用，因为高斯滤波器的存在，GFSK的带外泄露或者说功率谱旁瓣扩展很小。

一、高斯滤波器

其中高斯滤波器的公式可以写作：

g ( n ) = 1 4 N [ e r f ( π K B T 2 l n 2 ( n N + 1 2 ) ) − e r f ( π K B T 2 l n 2 ( n N − 1 2 ) ) ] g(n) = \frac{1}{4N}\left[erf\left(\pi K_{BT}\sqrt{\frac{2}{ln2}}\left(\frac{n}{N}+\frac{1}{2}\right)\right)-erf\left(\pi K_{BT}\sqrt{\frac{2}{ln2}}\left(\frac{n}{N}-\frac{1}{2}\right)\right)\right] g(n)=4N1​[erf(πKBT​ln22​ ​(Nn​+21​))−erf(πKBT​ln22​ ​(Nn​−21​))]
这里采用的时误差函数形式，有的用的也是Q函数形式，但是根据误码率和大部分trans文章的分析，采用误差函数的方式应该是正确的。

对应的matlab代码如下：
函数的输入：
B B B ：表示带宽，这里设置为500KHz；
symb_rate ：表示GFKS的符号速率这里设置为1MHz；
ts ：表示采样时间，这里设置为 1 12 e 6 \frac{1}{12e^6} 12e61​;
delay ：2*delay表示高斯滤波器覆盖的符号数目，这里设置为1.5；

function [Gaussian_filter_q,Gaussian_filter_e] = Gaussian_filter(B,symb_rate,delay,ts)
symb_T      = 1/symb_rate;          
Gau_t       = -delay*symb_T:ts:delay*symb_T;
 K          = 2*pi*B/sqrt(log(2)); 
Gau_det     = K*(Gau_t-symb_T/2);
Gau_sum     = K*(Gau_t+symb_T/2);
Gaussian_filter_q = 1/4/symb_T*(qfunc(2*pi*B*symb_T*Gau_det)-qfunc(2*pi*B*symb_T*Gau_sum));
Gaussian_filter_e = 1/4/symb_T*(erfc(Gau_det/sqrt(2))-erfc(Gau_sum/sqrt(2)));
end

二、高斯滤波

GFSK与FSK的区别在于多了一个高斯滤波器滤波和相位连续，高斯滤波的过程就是现将bit数据转换为NRZ码，然后上采样再经过高斯滤波，也就是卷积高斯滤波器。

w [ n ] = 2 π h ∑ k = − ∞ ∞ p [ k ] g [ n − k N ] w[n]=2\pi h\sum_{k=-\infty}^{\infty}p[k]g[n-kN] w[n]=2πhk=−∞∑∞​p[k]g[n−kN]
代码如下：

[~,Gaus_fil]= Gaussian_filter(TX.B,TX.symb_rate,TX.Gau_del,TX.samp_time);
TX_dat      = 2*TX_bits - 1;
dat_len     = length(TX_dat);
TX_dat_samp = upsample(TX_dat,TX.Oversample);
TX_Gaus_fil = 2*pi*TX.h*conv(Gaus_fil,TX_dat_samp);

三、相位积分

GFSK相位连续就是因为相位积分而来，也是因为相位连续而不会出现相位的突然跳变，看功率谱可知，相位的突然可能引起谐波分量。
θ [ n ] = ∑ v = − ∞ n w [ v ] \theta[n] = \sum_{v=-\infty}^{n}w[v] θ[n]=v=−∞∑n​w[v]
代码如下:

TX_phase    = TX.samp_time*cumsum(TX_freq(13:end));

四、TX设置和信号波形

当得到信号的相位以后就可以IQ调制GFSK信号：
s [ n ] = e j θ [ n ] = e x p { j ∑ v = − ∞ n w [ v ] } s[n]=e^{j\theta [n]}=exp\left\{ j \sum_{v=-\infty}^{n}w[v]\right\} s[n]=ejθ[n]=exp{ jv=−∞∑n​w[v]}
代码如下:

TX_cos      = cos(TX_phase);
TX_sin      = sin(TX_phase);
TX_GFSK1    = complex(TX_cos,TX_sin); 

TX的参数设置为：

function TX = TXSetting()
TX.h            = 0.32;  %mod index
TX.Fs           = 12e6; %sample rate
TX.samp_time    = 1/12e6;
TX.symb_rate    = 1e6;
TX.Oversample   = TX.Fs/TX.symb_rate;
TX.Packet_len   = 1000;
TX.Gau_del      = 1.5;
TX.B            = 0.5*TX.symb_rate;
TX.ac_code      = [1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1];
TX.Packet_num   = 100;
TX.SNR          = 0:2:16;
end

总结

调制好后的基带波形如下图

对比GFSK和FSK信号的功率谱就只到两者明显的区别: