任意物体的旋转矩阵

若我们知道世界空间上一个物体的三个轴方向u v n（都是单位向量）。要如何求得它的旋转矩阵。

假设它是由rotation = （0， 0， 0）的位置乘旋转矩阵
M r M_{r} Mr​

后所得的位置。 那么则有
M r − 1 ⋅ u = [ 1 0 0 ] ① M_{r}^\mathrm{ -1 }·u= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ① Mr−1​⋅u=⎣⎡​100​⎦⎤​①
M r − 1 ⋅ v = [ 0 1 0 ] ② M_{r}^\mathrm{ -1 }·v= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ② Mr−1​⋅v=⎣⎡​010​⎦⎤​②
M r − 1 ⋅ n = [ 0 0 1 ] ③ M_{r}^\mathrm{ -1 }·n= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ③ Mr−1​⋅n=⎣⎡​001​⎦⎤​③
假设
M r − 1 M_{r}^\mathrm{ -1 } Mr−1​
的表达式为
[ m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 ] = > [ ∣ m x ∣ ∣ m y ∣ ∣ m z ∣ ] \begin{bmatrix} m11 & m12 & m13 \\ m21 & m22 & m23 \\ m31 & m32 & m33 \\ \end{bmatrix} => \begin{bmatrix} |mx| \\ |my| \\ |mz| \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​m11m21m31​m12m22m32​m13m23m33​⎦⎤​=>⎣⎡​∣mx∣∣my∣∣mz∣​⎦⎤​

根据②③知道向量|mx|
∣ m x ∣ ⋅ v = 0 ∣ m x ∣ ⋅ n = 0 |mx|·v = 0\\ |mx|·n = 0 ∣mx∣⋅v=0∣mx∣⋅n=0
说明|mx|垂直于向量v,n所构成的平面，所以|mx|只有两种可能，要不就平行与u，要不就平行与-u。
又因为①式，知道
∣ m x ∣ ⋅ u = 1 |mx|·u = 1 ∣mx∣⋅u=1
所以|mx| = u

同理有|my| = v |mz| = n
所以(假若u的表达式为（ux,uy,uz）v（vx,vy,vz）n(nx,ny,nz))
M r − 1 = [ u x u y u z v x v y v z n x n y n z ] M_{r}^\mathrm{ -1 } = \begin{bmatrix} ux & uy & uz \\ vx & vy & vz \\ nx & ny & nz \\ \end{bmatrix} Mr−1​=⎣⎡​uxvxnx​uyvyny​uzvznz​⎦⎤​

因为 M r − 1 M_{r}^\mathrm{ -1 } Mr−1​
是正交矩阵所以有 M r = （ M r − 1 ） T = [ u x v x n x u y v y n y u z v z n z ] M_{r} = （M_{r}^\mathrm{ -1 }）^\mathrm{ T } = \begin{bmatrix} ux & vx & nx \\ uy & vy & ny \\ uz & vz & nz \\ \end{bmatrix} Mr​=（Mr−1​）T=⎣⎡​uxuyuz​vxvyvz​nxnynz​⎦⎤​

举例，把白色立方体的当前的旋转矩阵应用到红色立方体

代码

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class ObjMatrix : MonoBehaviour
{ 

    public GameObject cubeWhite;

    public GameObject cubeRed;
    
    // Start is called before the first frame update
    void Start()
    { 

        Vector3 u = cubeWhite.transform.right;
        Vector3 v = cubeWhite.transform.up;
        Vector3 n = cubeWhite.transform.forward;

        Matrix4x4 Mr = new Matrix4x4(
            new Vector4(u.x, u.y, u.z, 0),
            new Vector4(v.x, v.y, v.z, 0),
            new Vector4(n.x, n.y, n.z, 0),
            new Vector4(0  , 0,   0,   1)
            );

        cubeRed.transform.rotation = Mr.rotation;

    }
}

结果 红色的旋转和白色立方体一致

（注：仅仅个人笔记和心得，记录下加深印象，若有错误的地方恳请各路大佬指正）